2.2-整数的表示

2.2 整数的表示

2.2.1 数据类型

不同数据类型的数值范围

• 在64位机器上，long占8个字节
• 在32位机器上，long占4个字节

补码

负数是用补码表示的

补码最高位的权重是负的，所以称为符号位

$$x_{w-1} \cdot {\color{tomato}{-2^{w-1}}} + x_{w-2} \cdot {\color{tomato}{2^{w-2}}} + \cdots + x_{0} \cdot {\color{tomato}{2^{0}}}$$

最高位是灰色的负权重，所以最高位为1，就相当于减去8

例如：-5表示为-8+3，所以符号位是1，非符号位是011，即-5的补码表示为1011

2.2.2 有符号数和无符号数

#include <stdio.h>

int main(int argc, char const *argv[])
{
    short a = -12345;
    unsigned short b = (unsigned short)a;
    printf("a = %d, b = %u", a, b);
    return 0;
}
// a = -12345, b = 53191

a和b的位模式其实是一样的，都是1100 1111 1100 0111，但是解释这些位的方式不同

对于相同的位模式，有符号数和无符号数的转换关系为

$$B2U_{w} = B2T_{w} + x_{w-1} \cdot 2^{w}$$

所以

$$T2U_w(x)=\left\{ \begin{array}{cl} {\color{tomato}{x+2^w}} & x < 0 \\ x & x \geq 0 \\ \end{array} \right.$$

• 当最高位$x_{w-1}$为1时，此时有符号数$x$表示一个负数，要转换为无符号数需要加上$2^w$
• 当最高位为0时，有符号数和无符号数是相等的

无符号数到有符号数的转换

$$B2T_{w} = B2U_{w} - x_{w-1} \cdot 2^{w}$$

所以

$$U2T_w(u)=\left\{ \begin{array}{cl} u & u \leq TMax_w \\ {\color{LightSeaGreen}{u-2^w}} & u > TMax_w \\ \end{array} \right.$$

• 最高位等于0时，无符号数可以表示的数值小于有符号数的最大值，此时转换后的数值不变
• 最高位等于1时，无符号数可以表示的数值大于有符号数的最大值，转换后得到的有符号数等于该无符号数减去$2^{w}$

例如：无符号数11D = 1011B，转换为有符号数应该是$11-2^4=-5$

C语言中，执行运算时，如果一个运算数是有符号数，另一个运算数是无符号数，会将有符号数隐式转换为无符号数来执行运算

2.2.3 数据类型转换

数据扩展

• 无符号数的扩展高位补0
• 有符号数的扩展进行符号位扩展，最高位为0就扩展0，为1就扩展1

数据截断

对于十进制123456，从中间截断得到456，就相当于将原数对1000取模，也就是对$10^3$取模

同理，将二进制数11001010对$2^4$取模，就得到了1010