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概率分布函数


Discrete Random Variable

离散型随机变量,随机变量的取值是有穷可列举的
通常用大写字母表示随机变量,用小写字母表示随机变量的观测值

Probabolity Mass Function

直译为概率质量函数,教科书常用概率分布,表明随机变量有哪几种取值可能,每种所对应的概率是多少,所以严格来讲应该叫离散型随机变量值分布与概率分布

用数学语言来讲,概率分布是表示所有$P(X=x)$或$p(x)$的图、表、公式

例如抛骰子


概率分布

Cumulative Distribution Function

直译为累计分布函数,教科书直接叫分布函数,是对概率分布的累加

可以看到

Expectation/Mean

对于离散随机变量$X$,函数$h(X)$关于变量$X$的期望是

Continuous Random Variable

连续型随机变量

Probability Density Function

连续型随机变量的概率分布,称为概率密度函数

性质:

  1. 函数值大于等于0
  2. 在区间$(-\infty, +\infty)$上的积分为1
  3. 连续型随机变量的取值为区间$(a, b]$,其概率等于概率密度函数在相应区间上的面积

Cumulative Distribution Function

连续型随机变量也是叫分布函数,由概率密度函数积分得到

所以,概率密度函数与横轴的面积就是对应分布函数的函数值

Expectation/Mean

对于连续随机变量$X$,概率密度函数为$p(x)$,对$X$求期望

花体$\mathcal{X}$是随机变量$X$的取值范围

函数$h(X)$关于变量$X$的期望是

对某个随机随机变量求期望就可以消掉该变量

例如:$g(X,Y)=\frac{1}{5}XY$为二元函数,$X$的取值范围为$[0,10]$,概率密度函数为$p(x)=\frac{1}{10}$,对$X$求期望

可以看到,结果是不含随机变量$X$的,只包含随机变量$Y$

Conditional Expectation/Mean

如果在$Y=y$条件下$X$的条件概率密度函数为$f(x|Y=y)$,那么$X$的条件期望为

或者直接写成

从这里可以看出来,对$X$求期望会消掉$X$,所以条件期望$\mathbb{E}[X|Y=y]$的结果是一个$Y=y$条件下的确定的值
如果$Y$没有取值,那$\mathbb{E}[X|Y]$依然是一个关于$Y$的随机变量,有概率密度为$f(y)$,就可以求期望

这里用到了贝叶斯公式


文章作者: kunpeng
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