特征值与特征向量

定义

设$A$为$n \times n$阶方阵，若存在常数$\lambda$及$n$维非零向量$\boldsymbol{v}$，使得$A \boldsymbol{v} = \lambda \boldsymbol{v}$，则称$\lambda$是矩阵$A$的特征值eigenvalue，$\boldsymbol{v}$是$A$属于特征值$\lambda$的特征向量eigenvector

向量$\boldsymbol{v}$左乘矩阵$A$意味着对向量$\boldsymbol{v}$做变换，等式右边是一个常数乘以向量，说明只有拉伸变换，没有旋转变换

求矩阵特征值与特征向量

解方程$(A - \lambda I) \boldsymbol{v} = \boldsymbol{0}$，等价于$det(A - \lambda I) = 0$

例子

矩阵$\begin{bmatrix}3 & 1 \\ 0 & 2\end{bmatrix}$的特征值为$\lambda_1 = 2, \lambda_2 = 3$，对应的特征向量是$y=-x$和$y=0$上的向量，说明这两条直线上的向量分别被拉伸了2倍和3倍

R = [3 1; 0 2];
[V, D] = eig(R) // 给出的是单位特征向量
V =
    1.0000   -0.7071
         0    0.7071

D =
    3    0
    0    2

应用

(1) 求矩阵的高次幂

我们知道对角矩阵的$N$次幂就是对角元素的$N$次幂

$$\begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{bmatrix}^n = \begin{bmatrix} a^n & 0 \\ 0 & b^n \end{bmatrix}$$

因为$A\boldsymbol{v} = \lambda \boldsymbol{v}$
所以

$$\begin{aligned} & \quad \enspace \boldsymbol{v}^{-1} A \boldsymbol{v} = \boldsymbol{v}^{-1} \lambda \boldsymbol{v} = \lambda \\ & \Leftrightarrow A = \boldsymbol{v} \lambda \boldsymbol{v}^{-1} \\ & \Leftrightarrow A^n = \boldsymbol{v} \lambda \boldsymbol{v}^{-1} \boldsymbol{v} \lambda \boldsymbol{v}^{-1} \ldots \boldsymbol{v} \lambda \boldsymbol{v}^{-1} = \boldsymbol{v} \lambda^n \boldsymbol{v}^{-1} \end{aligned}$$

例子：
直接算

$$\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}^2 = \begin{bmatrix} 9 & 5 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$$

用特征值和特征向量算

$$\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3^2 & 0 \\ 0 & 2^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} 9 & 5 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$$

结果是一样的

(2) 旋转轴

对于三维旋转矩阵，特征向量就是在变换中没有旋转的向量，也就是旋转轴，所以可以通过求旋转矩阵的特征向量得到旋转轴