直升机动力学

变量

$t_{cD}$：相对于桨盘轴（disc axes）的推力系数，$t_{cD}=\frac{T_D}{\rho sA\Omega^2 R^2}$

$\bar{V}$：无量纲化前飞速度，除以推力速度，$\bar{V}=\frac{V}{v_0}=\hat{V}\frac{\Omega R}{v_0} \approx \mu_D \frac{\Omega R}{v_0}$

$\hat{V}$：前飞速度与叶尖速度的比值，$\hat{V}=\frac{V}{\Omega R}$

$v_{i0}$：平均诱导速度

$\bar{v_{i0}}$：无量纲化平均诱导速度，$\bar{v_{i0}}=\frac{v_{i0}}{v_0}$

$v_0$：悬停时的平均诱导速度（推力速度），$v_0=\sqrt{\frac{T}{2\rho A}}$

$\mu$：气流平行于桨盘平面的速度分量与叶尖速度的比值$\mu = \frac{V_\infty \cos \alpha_D}{\Omega R} \approx \frac{V_\infty}{\Omega R}\approx \hat{V}$

$\lambda_i$：悬停参数，$\lambda_i=\frac{v_{i0}}{\Omega R} or \frac{v_i}{\Omega R}$

诱导功率

推力 = 质量流量 * 诱导速度的变化量

$$\begin{equation} T = (2v)\rho A \sqrt{(V_\infty cos \alpha_{TPP})^2 + (V_\infty sin \alpha_{TPP} + v)^2} \end{equation}$$

$v$: 诱导速度
$\alpha_{TPP}$: 气流与桨盘平面的夹角
$V_\infty$: 气流速度

近似处理：$\alpha_{TPP} \approx 0, \cos \alpha_{TPP} \approx 1, \sin \alpha_{TPP} \approx 0$，简化为

$$\begin{equation} T = (2v)\rho A \sqrt{V_\infty^2 + v^2} \end{equation}$$

前飞速度约等于气流速度$V \approx V_\infty$
悬停时，诱导速度$v_0=\sqrt{\frac{T}{2 \rho A}} \approx \sqrt{\frac{W}{2 \rho A}}$，代入上式可得

$$\begin{equation} v = \sqrt{\sqrt{\frac{V^4}{4}+v_0^2}-\frac{V^2}{2}}=v_0\sqrt{\sqrt{\frac{V^4}{4v_0^4}+1}-\frac{V^2}{2v_0^2}} \end{equation}$$

所以诱导功率为

$$\begin{equation} P_{indecued} = Tv \approx Wv = W v_0\sqrt{\sqrt{\frac{V^4}{4v_0^4}+1}-\frac{V^2}{2v_0^2}} \end{equation}$$

考虑非均匀诱导速度的影响，引入系数$\kappa \approx 1.1$

$$\begin{equation} P_{indecued} = \kappa Tv \approx \kappa Wv = \kappa W v_0\sqrt{\sqrt{\frac{V^4}{4v_0^4}+1}-\frac{V^2}{2v_0^2}} \end{equation}$$

型阻功率

与螺旋桨转动方向相切的速度为

$$\begin{equation} U_T = \Omega r + V_\infty \sin \psi \end{equation}$$

翼型阻力表示为

$$\begin{equation} D^\prime = \frac{1}{2} \rho U_T^2 c C_{d,0} \end{equation}$$

型阻功率

$$\begin{equation} P_{profile} = \frac{b}{2 * \pi} \int_{0}^{2\pi}{\int_{0}^{R}{D^\prime U_T dr d\psi}} = \frac{1}{8}\rho \sigma C_{d,0} A \Omega ^3 R^3 (1 + 3\mu^2) \end{equation}$$

废阻功率

机身阻力

$$\begin{equation} D = \frac{1}{2}\rho S_{FP} V^2 \end{equation}$$

$S_{FP}$is equivalent flat plate area.

$$\begin{equation} P_{parasite} = \frac{1}{2} \rho S_{FP} V^3 \end{equation}$$

总飞行功率

爬升功率

展开成一元二次方程形式

$$\begin{equation} v^2+v_cv-\frac{W}{2\rho A} = 0 \end{equation}$$

解出诱导速度

$$\begin{equation} v = -\frac{1}{2}v_c+\frac{1}{2}\sqrt{v_c^2+\frac{2W}{\rho A}} \end{equation}$$

爬升功率表示为

$$\begin{equation} P_{climb} = Wv_c \end{equation}$$

诱导功率

$$\begin{equation} P_{induced} = Wv = -\frac{1}{2}Wv_c+\frac{1}{2}W\sqrt{v_c^2+\frac{2W}{\rho A}} \end{equation}$$

还要加上型阻功率

$$\begin{equation} P_{prfile} = \frac{1}{8}C_{d,0}\rho A \sigma \Omega^3 R^3 \end{equation}$$

总爬升功率为

$$\begin{equation} P_{prfile} + P_{induced} + P_{climb} = \frac{1}{8}C_{d,0}\rho A \sigma \Omega^3 R^3 + \frac{1}{2}Wv_c+\frac{1}{2}W\sqrt{v_c^2+\frac{2W}{\rho A}} \end{equation}$$