二阶常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程的形式为：

$$a{y}^{\prime \prime}+b{y}^{\prime}+cy=0$$

由于是二阶线性微分方程，所以它有两个解，记为$y_1, y_2$
它的特征方程为：

$$ar^2+br+c=0$$

写出微分方程的特征方程后即可以用求根公式求出特征方程的解：

$$r_{1,2} = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac}\over 2a}$$

以下分情况讨论：

1. 当$\Delta > 0$时，$r_1,r_2$是两个不相等的实根

   $$r_{1} = {-b + \sqrt{\Delta}\over 2a}, r_{2} = {-b - \sqrt{\Delta}\over 2a}$$

   微分方程的通解为：

   $$y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}$$

2. 当$\Delta = 0$时，$r_1,r_2$是两个相等的实根

   $$r_{1} = r_{2} = {-b \over 2a}$$

   微分方程的通解为：

   $$y = C_1e^{r_1x} + C_2xe^{r_2x}$$

3. 当$\Delta < 0$时，$r_1,r_2$是一对共轭复根

   $$r_{1} = \alpha + \beta i, r_{2} = \alpha - \beta i$$

   其中

   $$\alpha = {-b \over 2a}, \beta = {\sqrt{-\Delta}\over 2a}$$

   微分方程的通解为：

   $$y = e^{\alpha x}(C_1 cos\beta x + C_2 sin\beta x)$$